不等式解决问题的例题（附两种解法及思路）

已知函数f（x）=e ^x -ln（x+m）.当m≤2时，证明f（x）＞0。
此问题是要证明在特定条件下函数值大于零，即最小值大于零即可，由于参数m∈（-∞，2]时，总有ln（x+m）≤ln（x+2），所以，只需证明e ^x -ln（x+2）＞0即可。下面从对概念理解的角度给出两种思路：




解法2：

当m≤2时，f（x）=e ^x -ln（x+m）≥e ^x -ln（x+2），

由于这个函数是由指数函数与对数函数构成的，而这两个函数之间可以通过切线或y=x等建立联系，从而实现指数函数与对数函数之间的转化。

由于e ^x ≥x+1，lnx≤x-1，进而ln（x+1）≤x,ln（x+2）≤x+1，x+1≥ln（x+2），

所以e ^x ＞ln（x+2）（等号不能同时成立），即e ^x -ln（x+2）＞0.

当然，在此之前需分别证e ^x ≥x+1，x+1≥ln（x+2）成立。