三次函数的切线有几条（附高考题为例详细解说）

三次函数的切线

利用函数的切线，可以在局部范围内实现“以直代曲”，从而将复杂问题简单化。当然，利用函数的切线还可以构建各类不等式，从而实现转化。

三次函数的切线与其他幂函数的切线相比较为复杂，下面我们以一道高考题为例，总结一下三次函数切线的相关结论。

例2-9　已知函数f（x）=2x ³ -3x.问：

（Ⅰ）若过点P（1，t）存在三条直线与曲线y=f（x）相切，求t的范围；

（Ⅱ）过点A（-1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？

分析：设过点P（1，t）的直线与曲线y=2x ³ -3x相切于点（x ₀ ，y ₀ ），

则切线方程为y-y ₀ =（6x ² ₀ -3）（x-x ₀ ）.

由于点P（1，t）在切线上，因此t-y ₀ =（6x ² ₀ -3）（1-x ₀ ），

整理得4x ₀ ³ -6x ₀ ² +t+3.

令g（x）=4x ³ -6x ² +t+3，

则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”等价于“g（x）有3个不同的零点”。

由于g′（x）=12x（x-1），所以，g（0），g（1）分别是g（x）的极大值与极小值。

由函数g（x）的单调性可知，“g（x）有3个不同的零点”等价于“g（0）＞0，且g（1）＜0”，得-3＜t＜-1.

所以，当-3＜t＜-1时，过点P（1，t）有3条直线与曲线y=2x ³ -3x相切，一般的，对于一元三次函数，其切线的个数有如下结论：



 

（图中l为过三次函数的图像中心且与三次函数相切的直线，l与y=f（x）将平面区域分为四个区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ）

当点P位于Ⅰ，Ⅲ部分时可以作三条切线；

当点P位于　Ⅱ，Ⅳ部分时可以作一条切线；

当点P位于直线l上且不与M重合时可以作2条；

当点P位于y=f（x）上且不与M重合时可以作2条。

⑤幂函数y=x ⁿ 与函数y=（1+x） ⁿ