初三抛物线方程及图像（初中数学抛物线的定义）

同学们大家好～

如果你是一名初三的学生，那么你应该对抛物线这三个字很熟悉了。

我们曾经定义的是：二次函数y=ax方+bx+c（a不等于0）的图像叫做抛物线。也就是这样：

但是，你见过这样的抛物线吗？

当然，它已经不再是二次函数。

实际上，抛物线是由满足某种性质的所有点组成的一条曲线。而这个性质就是：到一个定点F和一条不过F的直线L距离相等。

下面我们理解一下这个定义。也就是说，我们首先在平面内画一个点F和一条直线L，然后我们再找到一个点P，使它满足上述性质。先说这个点P到F的距离，属于点到点的距离，也就是PF的长度；而P到直线L的距离，属于点到直线的距离，那我们就过P作PH垂直直线L于H，也就是PH的长度。然后，再让这俩距离PF和PH相等，满足这样性质的点，全部放在一起，就形成了一条曲线：抛物线。

顺便我们定义一下，这个定点F叫做这条抛物线的焦点，而这条定直线L叫做抛物线的准线。

然后按照我们的习惯，我们将抛物线放在平面直角坐标系中。我们先将它的位置特殊化，使它的顶点是原点O。

先来研究我们最熟悉的一种，抛物线开口向上。如果显得更专业一点的话，就是焦点在y轴正半轴的抛物线。

上图：

焦点在y轴正半轴

那用图像只能描述抛物线的一小部分，我们通过二次函数的学习就应该能感受到，抛物线是可以向两边无限延伸的，也就是说，抛物线上的点有无穷多组，那么我们要想表示它的全貌就不能用几何的图像来描述了，而需要一种新的表示方法，它类似于我们学过的解析式，但这里我们更习惯于把它们叫做方程。

这是一个二元方程，它的解我们可以用大括号x=多少 y=多少这样表示，但是如果把它放到平面直角坐标系中，它的解实际上就是一个点的坐标。x是点的横坐标，而y是点的纵坐标。而如果满足这个方程的所有点合在一起是一条抛物线，同时这条抛物线上的所有点如果都满足这个方程，那么我们就成这条曲线的方程就是那个二元方程。这个方程就像是一条曲线的名字一样。

其实我们曾经学过的解析式，比如y=x也是一种方程，当然，它和x-y=0是一个意思，都可以表示一条直线。

为了方便研究，我们把直线L与y轴交点设为K，设FK=p。那如果你理解我上面说的意思了，就自己试着推一下它的方程；如果你没理解，那就接着往下读，我们一起推。

先来分析，求抛物线的方程，实际上就是在求抛物线上的点的坐标满足什么方程。因此我们需要先设抛物线上任意一点P（x，y），只要找到含x，y的方程就可以了。

然后，我们就要根据抛物线的定义，可以知道线段PF=PH。而PF我们的长该怎么用含有x，y的代数式表示呢？我们可以用两点坐标公式。那这也就需要F点的坐标，由于我们设FK=p，O又在抛物线上，因此根据定义肯定有OF=OK=｜p/2｜，所以得出F坐标（0，p/2）与‬K（0，-p/2）。这样我们就可以表示PF了。然后是PH，PH就‬很好‬表示了‬，就是‬P到‬直线‬L的‬距离‬嘛‬，由于‬K（0，-p/2），所以‬L的‬方程‬就是‬y=-p/2，所以‬PH也就是‬｜y-（-p/2）｜。这样‬我们‬把‬PH也‬搞定了‬。最后‬，再‬由‬这两个‬式‬子‬相等‬，化简‬，就可以‬得到‬方程了‬。

我的过程

那么，由此，我们就得出来焦点在y轴正半轴的抛物线的方程，为了区别于其它形式的方程，我们把刚才得出的这个方程叫做标准方程。

以上是焦点在y轴正半轴的抛物线的标准方程的推导过程，那焦点在y轴负半轴呢？x正半轴呢？x轴负半轴呢？跟刚才是一样的道理，我就不给大家推了，直接给结论：

1. 焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程：x方=2py
2. 焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程：x方=-2py
3. 焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程：y方=2px
4. 焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程：y方=-2px（p为‬焦点‬到‬准线‬的‬距离‬）

因此，我们可以看出，抛物线的标准方程实际上是由焦点‬到‬准线‬的‬距离p以及‬焦点‬的‬位置‬决定‬。

课后练习题：（答案文末）

练习题答案：ADB